Matematické Fórum

JohnNash · 15. 07. 2012 18:47

Ahoj, potřebuju něco vysvětlit:

Theorem: Je-li řada $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ konvergentní nebo podstatně divergentní, potom každá řada z ní vzniklá uzávorkováním má stejný charakter a stejný součet.

Proof: Platí $\sum_{k=1}^{n} b_{k} = \sum_{j=1}^{k_{n}}$ a nyní stačí použít větu o limitě vybrané posloupnosti.

Pozn.: $k_{n}$ je rostoucí posloupnost přirozených čísel.

Mohl byste mi prosím někdo vysvětlit, jak přesně se v důkazu věta o vybrané posloupnosti použije? Děkuji předem.

jarrro · 15. 07. 2012 19:07 — Editoval jarrro (15. 07. 2012 19:08)

Ak je rad $\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ konvergentný, znamená to, že
postupnosť $s_n=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}$ je konvergentná.
Zrejme postupnosť čiastočných súčtov nejakého "uzátvorkovania" je postupnosť vybraná z postupnosti
$s$ . Ale vybraná postupnosť z konvergentnej postupnosti je taktiež konvergetná a má rovnakú limitu ako pôvodná postupnosť.

vanok · 15. 07. 2012 19:17

Poznamka:
1-1+1-1+... nie je konvergentna ( ciastocne sucty su 1; 0; 1)
Ale (1-1)+(1-1)+... konverguje k nule

JohnNash · 15. 07. 2012 19:19

↑ vanok:
Však to je klidně možné, ne? O tom ta věta přece nehovoří. Nebo se mýlím?

jarrro · 15. 07. 2012 19:25 — Editoval jarrro (15. 07. 2012 19:26)

v predpoklade je, že pôvodný rad je konvergentný alebo podstatne divergentný.
pojem podstatne divergentný som síce ešte nepočul, ale mohlo by to byť, že má nevlastný súčet nekonečno alebo mínus nekonečno je to tak? ak hej tak rad 1-1+1-1+... to nesplňuje.

vanok · 15. 07. 2012 19:39

ani mne to slovo "podstatne " nie je jasne.
Ak je rada konvergentna je to bez problemov.
Ale ak nie... je to skor komplikovane.
Ta rada, co som citoval z hrou zatvoriek nam da hocijake cele cislo...
A na priklad, dokonca v zmysla Cesaro konverguje
http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_mean

( na tu temu radim Hardy: Divergent series)

JohnNash · 15. 07. 2012 20:29

↑ vanok:
Podstatně divergentní máme zadefinované tak, že $\lim_{n\to+\infty }s_{n}=\pm \infty$ .

Rumburak

↑ JohnNash:

Ahoj. Nevím úplne jistě, čemu říkáš "řada vzniklá uzávorkováním řady $\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ ", ale předpokládám, že máš na mysli případ

$\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}$ , kde $b_1 = \sum_{i=1}^{k_1} a_i$ , $b_{j+1} = \sum_{i=k_j + 1}^{k_{j+1}} a_i$ , $(k_j)$ je rostoucí nekonečná poslouponost přirozených čísel .

Při tomto rozpisu lze snadno dokázat indukcí, že pro každé přirozené číslo $N$ je

(1) $\sum_{n=1}^{N} b_{n} = \sum_{j=1}^{k_N} a_{j}$ .

Z toho vyplývá odpověď na Tvoji otázku. Když $\lim_{k\to +\infty}\sum_{j=1}^{k} a_{j} = A$ (ať již vlastní nebo nevlastní) , potom

$\lim_{N\to +\infty}\sum_{j=1}^{k_N} a_{j} = A$ ,

věta o limitě vybrané posloupnosti byla použita zde. Že $A$ je zároveň i limitou při $N\to +\infty$ levé strany v (1), je pak už triviální.

Už Ti de facto odpověděl kolega ↑ jarrro:, mým cílem bylo ukázat, že základem je zde uvědomit si definice.

vanok · 17. 07. 2012 07:23

Pozdravujem ↑ Rumburak:,

Uplne suhlasim, bez presnej definicie nie je mozna presna odpoved.

Ale aj ta "nepodstatna" divergencia je zaujimava ...

Rumburak · 17. 07. 2012 10:18

↑ vanok:

Zdravím .

vanok napsal(a):
Ale aj ta "nepodstatna" divergencia je zaujimava ...

... je ještě zajímavější . :-)

Matematické Fórum

#1 15. 07. 2012 18:47

Věta (O uzávorkování řady)

#2 15. 07. 2012 19:07 — Editoval jarrro (15. 07. 2012 19:08)

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#3 15. 07. 2012 19:17

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#4 15. 07. 2012 19:19

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#5 15. 07. 2012 19:25 — Editoval jarrro (15. 07. 2012 19:26)

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#6 15. 07. 2012 19:39

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#7 15. 07. 2012 20:29

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#8 16. 07. 2012 10:45 — Editoval Rumburak (16. 07. 2012 11:05)

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#9 17. 07. 2012 07:23

Re: Věta (O uzávorkování řady)

#10 17. 07. 2012 10:18

Re: Věta (O uzávorkování řady)

vanok napsal(a):

Zápatí